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函数列与函数项级数专题练习（第十三章）

本页聚焦一致收敛、Dini 定理、M-判别法与极限交换。每题均采用“点击展开过程与答案”的折叠格式。

练习 1：[基础] 点收敛与一致收敛​

设 fn(x)=xnf_n(x)=x^n，定义域 [0,1][0,1]。判断是否一致收敛。

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对 x∈[0,1)x\in[0,1)，xn→0x^n\to0；x=1x=1 时 xn=1x^n=1。点极限不连续，故在 [0,1][0,1] 上不一致收敛。

练习 2：[基础] M-判别法​

证明级数 ∑n=1∞sin⁡(nx)n2\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} 在 R\mathbb{R} 上一致收敛。

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有 ∣sin⁡(nx)n2∣≤1n2\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}，且 ∑1n2\sum\frac1{n^2} 收敛。由 M-判别法得原级数一致收敛。

练习 3：[基础] Cauchy 一致收敛准则​

设 un(x)=xn(1+x2)u_n(x)=\frac{x}{n(1+x^2)}，判断 ∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^\infty u_n(x) 在 R\mathbb{R} 上是否一致收敛。

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有 sup⁡x∈R∣un(x)∣=12n\sup_{x\in\mathbb{R}}|u_n(x)|=\frac1{2n}。比较级数 ∑12n\sum \frac1{2n} 发散，因此不能由 M-判别法得一致收敛。且在 x=1x=1 时退化为 12n\frac1{2n}，原级数发散，故不存在一致收敛。

练习 4：[提高] Dini 定理应用​

设 fn∈C[0,1]f_n\in C[0,1]，且 fn(x)↘f(x)f_n(x)\searrow f(x)，其中 ff 连续。证明 fn⇉ff_n\rightrightarrows f。

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定义域 [0,1][0,1] 为紧集，函数列连续，点收敛到连续函数且点点单调。由 Dini 定理，fnf_n 在 [0,1][0,1] 上一致收敛到 ff。

练习 5：[提高] 一致收敛与连续性​

设

S(x)=∑n=1∞x2(1+x2)n.S(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^n}.

判断该级数在 R\mathbb{R} 上是否一致收敛。

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x≠0x\neq0 时为几何级数，和为 1；x=0x=0 时和为 0。极限函数在 0 处不连续，但各项函数连续。若一致收敛则极限应连续，矛盾。故不一致收敛。

练习 6：[提高] 积分与极限交换​

设 fn(x)=x1+n2x2f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}，x∈[0,1]x\in[0,1]。求 lim⁡n→∞∫01fn(x) dx\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx。

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0≤fn(x)≤max⁡x∈[0,1]x1+n2x2=12n→00\le f_n(x)\le \max_{x\in[0,1]}\frac{x}{1+n^2x^2}=\frac1{2n}\to0，故 fn⇉0f_n\rightrightarrows0。因此

lim⁡n→∞∫01fn(x) dx=∫01lim⁡n→∞fn(x) dx=0.\lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x)\,dx=\int_0^1\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx=0.

练习 7：[提高] 逐项积分​

证明 ∑n=1∞xnn2\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} 在 [0,1][0,1] 上一致收敛，并计算

∫01∑n=1∞xnn2 dx.\int_0^1\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\,dx.

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∣xnn2∣≤1n2\left|\frac{x^n}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}，M-判别法得一致收敛，可逐项积分：

∫01∑n=1∞xnn2 dx=∑n=1∞1n2(n+1).\int_0^1\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2(n+1)}.

练习 8：[挑战] 非一致收敛反例​

构造连续函数列 {gn}\{g_n\}，满足：gn→0g_n\to0 点收敛，且 ∫01gn(x) dx→0\int_0^1 g_n(x)\,dx\to0，但不一致收敛。

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可取 gn(x)=xng_n(x)=x^n。其点收敛到 0（除 x=1x=1 单点外），并且

∫01xn dx=1n+1→0.\int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}\to0.

同时 sup⁡x∈[0,1]∣gn(x)∣=1\sup_{x\in[0,1]}|g_n(x)|=1，故不一致收敛。

练习 9：[挑战] 导数级数辨析​

设 Fn(x)=∑k=1nsin⁡(kx)k2F_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k^2}，讨论 Fn′(x)F_n'(x) 是否在 [0,2π][0,2\pi] 上一致收敛。

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有

Fn′(x)=∑k=1ncos⁡(kx)k.F_n'(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\cos(kx)}{k}.

当 x=0x=0 时右侧变成调和级数部分和，不收敛。因此 Fn′(x)F_n'(x) 不可能一致收敛。

练习 10：[挑战] 参数级数​

设

f(x)=∑n=1∞(−1)n−1xn(1+n2x2),x∈R.f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x}{n(1+n^2x^2)},\quad x\in\mathbb{R}.

讨论其在有界区间 [−A,A][-A,A] 上的一致收敛性。

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对固定 A>0A>0，有

∣xn(1+n2x2)∣≤An.\left|\frac{x}{n(1+n^2x^2)}\right|\le \frac{A}{n}.

直接比较不足以得一致收敛。利用交错结构与 Dirichlet 判别（部分和一致有界、后因子单调趋零）可得在任意有界闭区间上一致收敛。