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抽样分布 (Sampling Distributions)

数理统计的基础是抽样。抽样分布是指统计量的分布。

1. 常用统计量​

设 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n 为来自总体 XX 的简单随机样本。

  • 样本均值: Xˉ=1n∑Xi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum X_i。
  • 样本方差: S2=1n−1∑(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2。

2. 三大抽样分布​

  1. χ2\chi^2 分布: X1,…,Xn∼N(0,1)X_1, \dots, X_n \sim N(0, 1)，则 ∑Xi2∼χ2(n)\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)。
  2. tt 分布: Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1)，Y∼χ2(n)Y \sim \chi^2(n)，ZZ 与 YY 独立，则 ZY/n∼t(n)\frac{Z}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)。
  3. FF 分布: U∼χ2(n1)U \sim \chi^2(n_1)，V∼χ2(n2)V \sim \chi^2(n_2)，UU 与 VV 独立，则 U/n1V/n2∼F(n1,n2)\frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)。

3. 正态总体的样本分布​

若 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)：

  1. Xˉ∼N(μ,σ2/n)\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)。
  2. (n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)。
  3. Xˉ\bar{X} 与 S2S^2 相互独立。

本章节由 SolKnow 系统根据标准教材重写。