假设检验 (Hypothesis Testing)

假设检验是统计推断的核心，通过样本数据判断对总体的某种假设是否成立。

1. 基本原理 (Core Principles)

1.1 逻辑基础：小概率原理

一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。如果根据假设推断出的某事件发生的概率极小（显著性水平 $\alpha$），而该事件在实际观测中发生了，我们就拒绝原假设 $H_0$。

1.2 两类错误 (Type I & II Errors)

错误辨析

• 第一类错误 (Type I, $\alpha$): $H_0$ 为真，但拒绝了 $H_0$（弃真）。
• 第二类错误 (Type II, $\beta$): $H_0$ 为假，但接受了 $H_0$（取伪）。

注: 在样本量 $n$ 固定时，$\alpha$ 和 $\beta$ 不能同时减小。通常控制 $\alpha$，在此前提下使 $\beta$ 尽量小。

1.3 p 值 (p-value)

定义: $p$ 值是当原假设 $H_0$ 为真时，观测到当前样本结果（或更极端结果）的概率。

• 若 $p \le \alpha$，在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0$。
• 若 $p > \alpha$，在显著性水平 $\alpha$ 下接受 $H_0$。

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2. 常见检验方法 (Common Tests)

2.1 正态总体均值检验

条件	统计量	分布
$\sigma^2$ 已知	$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$	$N(0, 1)$
$\sigma^2$ 未知	$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$	$t(n-1)$

2.2 正态总体方差检验 ($\chi^2$ 检验)

检验 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$： $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$

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3. 深度练习库

练习 1: 检验效能 (Power) 的概念

题目: 解释什么是检验效能 (Power of a Test)？如何提高它？

解答: 检验效能定义为 $1 - \beta$，即当 $H_0$ 确实不成立时，正确拒绝 $H_0$ 的概率。 提高效能的方法：

1. 增大样本量 $n$: 这是最直接的方法，能减小抽样误差。
2. 增大显著性水平 $\alpha$: 减小 $\beta$ 会增大 $\alpha$，虽然提高了效能但也增加了犯第一类错误的风险。
3. 减小随机误差: 通过更精确的实验控制来减小 $\sigma$。

练习 2: $p$ 值的单侧与双侧检验

题目: 在单侧检验 $H_1: \mu > \mu_0$ 中算得 $p = 0.03$。若改为双侧检验 $H_1: \mu \ne \mu_0$，其 $p$ 值是多少？在 $\alpha=0.05$ 下结论是否改变？

解答: 对于对称分布（如 $Z, t$），双侧检验的 $p$ 值通常是单侧检验的两倍（假设观测值落在单侧拒绝域方向）。

1. 新 $p$ 值: $p = 0.03 \times 2 = 0.06$。
2. 结论:
   • 在单侧检验中，$0.03 < 0.05$，拒绝 $H_0$。
   • 在双侧检验中，$0.06 > 0.05$，接受 $H_0$。 结论: 显著性结论发生了改变。

练习 3: 第一类错误发生的概率

题目: 设我们进行了 20 次独立的假设检验，每次的显著性水平均为 $\alpha = 0.05$。假设所有原假设其实都是正确的，那么这 20 次检验中至少有一次发生“弃真”错误的概率是多少？

解答: 这是一个典型的二项分布问题。

1. 某次检验不发生错误的概率为 $1 - 0.05 = 0.95$。
2. 20 次检验都不发生错误的概率为 $(0.95)^{20} \approx 0.358$。
3. 至少发生一次错误的概率为 $1 - 0.358 = 0.642$。

结论: 概率高达约 64.2%。这说明了在进行多重比较 (Multiple Comparisons) 时，如果不加修正，犯第一类错误的风险会剧增。