抽样分布 (Sampling Distributions)

数理统计研究如何通过样本推断总体的特征。抽样分布是数理统计的理论基础。

1. 总体与样本

• 总体 (Population)：研究对象的全体，通常用随机变量 $X$ 表示。
• 样本 (Sample)：从总体中随机抽取的个体序列 $X_1, X_2, \dots, X_n$。
• 独立同分布 (i.i.d.)：在简单随机抽样下，$X_i$ 独立且与 $X$ 同分布。

2. 统计量 (Statistics)

统计量是不含任何未知参数的样本函数。常用的统计量包括：

• 样本均值：$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
• 样本方差：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
• 样本 $k$ 阶原点矩：$A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$

分母为 n-1

样本方差 $S^2$ 的分母为 $n-1$ 是为了保证其为总体方差 $\sigma^2$ 的 无偏估计。

3. 三大抽样分布

$\chi^2$ 分布 (卡方分布)

设 $X_1, \dots, X_n$ 独立且均服从标准正态分布 $N(0, 1)$，则： $\chi^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$ 其中 $n$ 称为 自由度。

• $E(\chi^2) = n, \quad Var(\chi^2) = 2n$。

$t$ 分布 (学生分布)

设 $X \sim N(0, 1)$，$Y \sim \chi^2(n)$，且 $X, Y$ 独立，则： $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$

• 当 $n \to \infty$ 时，$t(n) \to N(0, 1)$。

$F$ 分布

设 $U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$，且 $U, V$ 独立，则： $F = \frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)$

4. 正态总体下的常用定理

设 $X_1, \dots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$，则：

1. $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$
2. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
3. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立
4. $\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$

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5. 经典练习

:::info 练习 1 设 $X_1, \dots, X_9$ 为来自 $N(0, 1)$ 的样本，令 $Y = \frac{X_1 + \dots + X_6}{\sqrt{X_7^2 + X_8^2 + X_9^2}}$。求使得 $cY \sim t(n)$ 的常数 $c$ 及自由度 $n$。 :::

查看解析

首先，分子 $Z = X_1 + \dots + X_6 \sim N(0, 6)$。 标准化分子：$Z' = \frac{Z}{\sqrt{6}} \sim N(0, 1)$。 分母平方和 $W = X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 \sim \chi^2(3)$。 根据 $t$ 分布定义： $T = \frac{Z'}{\sqrt{W/3}} = \frac{Z/\sqrt{6}}{\sqrt{W/3}} = \frac{Z}{\sqrt{2W}} = \frac{1}{\sqrt{2}} Y \sim t(3)$ 故 $c = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$n = 3$。

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本章节为参数估计与假设检验提供理论分布支持。