假设检验 (Hypothesis Testing)

假设检验是根据样本观察到的证据，决定是否拒绝关于总体的某种预先假设。

1. 基本原理与步骤

假设的建立

• 原假设 ($H_0$)：维持现状，除非证据确凿才拒绝。
• 备择假设 ($H_1$)：与 $H_0$ 对立。

检验过程

1. 建立原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$。
2. 构造检验统计量 $T(X_1, \dots, X_n)$。
3. 给定显著性水平 $\alpha$ (通常为 0.05 或 0.01)，确定拒绝域。
4. 根据样本观测值判断：若统计量落入拒绝域，则拒绝 $H_0$。

2. 两类错误 (Type I & II Errors)

真实情况	接受 $H_0$	拒绝 $H_0$
$H_0$ 为真	正确决策	第一类错误 (弃真)
$H_0$ 为假	第二类错误 (取伪)	正确决策

不可兼得

在样本容量 $n$ 固定时，减小 $\alpha$ (第一类错误概率) 通常会导致 $\beta$ (第二类错误概率) 增大。

3. 单正态总体的常用检验

假设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，针对均值 $\mu$ 的双侧检验 ($H_0: \mu = \mu_0$)：

$\sigma^2$ 已知 (Z-检验)

检验统计量：$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。 拒绝域：$|Z| > z_{\alpha/2}$。

$\sigma^2$ 未知 (T-检验)

检验统计量：$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。 拒绝域：$|T| > t_{\alpha/2}(n-1)$。

4. P-值 (P-value)

P-值 是在原假设 $H_0$ 成立下，获得当前样本观测值或更极端观测值的概率。

• 若 $P \le \alpha$，拒绝 $H_0$。
• 若 $P > \alpha$，接受 $H_0$。

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5. 经典练习

:::info 练习 1 某批零件的直径服从正态分布 $N(\mu, 0.04^2)$。标准直径为 $1.20 \text{ cm}$。现随机抽查 16 个零件，测得平均直径为 $1.22 \text{ cm}$。取 $\alpha = 0.05$，问这批零件的平均直径是否有显著变化？ ($z_{0.025} = 1.96$) :::

查看解析

1. 建立假设：$H_0: \mu = 1.20, \quad H_1: \mu \neq 1.20$。
2. 由于 $\sigma = 0.04$ 已知，构造 Z-统计量： $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{1.22 - 1.20}{0.04/\sqrt{16}} = \frac{0.02}{0.01} = 2$
3. 临界值：$z_{0.025} = 1.96$。
4. 决策：$|Z| = 2 > 1.96$，故在 $\alpha=0.05$ 水平下 拒绝原假设，认为平均直径有显著变化。

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本章节涵盖了数理统计中最常用的决策理论模型。