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离散型随机变量 (Discrete Random Variables)

在概率论中，如果一个随机变量 XX 的所有可能取值是有限个或可列无穷个，则称 XX 为 离散型随机变量。

1. 概率分布 (Probability Distribution)​

对于离散型随机变量 XX，其概率分布可以用 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF) 来描述： P(X=xi)=pi,i=1,2,…P(X = x_i) = p_i, \quad i = 1, 2, \dots 且满足：

  1. pi≥0p_i \ge 0
  2. ∑ipi=1\sum_{i} p_i = 1

常见离散分布​

  1. 单点分布 (Degenerate Distribution): P(X=c)=1P(X=c) = 1。
  2. 两点分布 (Bernoulli Distribution): X∼B(1,p)X \sim B(1, p)。
  3. 二项分布 (Binomial Distribution): X∼B(n,p)X \sim B(n, p)，P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}。
  4. 泊松分布 (Poisson Distribution): X∼P(λ)X \sim P(\lambda)，P(X=k)=λke−λk!P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}。
  5. 几何分布 (Geometric Distribution): X∼G(p)X \sim G(p)，P(X=k)=(1−p)k−1pP(X=k) = (1-p)^{k-1}p。
  6. 负二项分布 (Negative Binomial): X∼NB(r,p)X \sim NB(r, p)，第 rr 次成功所需的试验次数。
  7. 超几何分布 (Hypergeometric): X∼H(N,M,n)X \sim H(N, M, n)，不放回抽样中的成功次数。

2. 数字特征 (Numerical Characteristics)​

数学期望 (Expectation)​

离散型随机变量 XX 的数学期望定义为： E(X)=∑ixipiE(X) = \sum_{i} x_i p_i （要求级数绝对收敛）。

方差 (Variance)​

方差描述随机变量取值的离散程度： Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2

3. 经典例题​

:::info 例题 1 设随机变量 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)，求 E(X)E(X) 和 Var(X)Var(X)。 :::

查看解析

利用二项式定理或指标随机变量法：

  1. 期望: E(X)=npE(X) = np。
  2. 方差: Var(X)=np(1−p)Var(X) = np(1-p)。

推导简述: 设 X=∑i=1nXiX = \sum_{i=1}^n X_i，其中 XiX_i 是第 ii 次试验成功的指标随机变量，Xi∼B(1,p)X_i \sim B(1, p)。 则 E(Xi)=pE(X_i) = p，Var(Xi)=p(1−p)Var(X_i) = p(1-p)。 由于试验独立，E(X)=∑E(Xi)=npE(X) = \sum E(X_i) = np，Var(X)=∑Var(Xi)=np(1−p)Var(X) = \sum Var(X_i) = np(1-p)。

:::info 例题 2 若 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)，证明 E(X)=λE(X) = \lambda。 :::

查看解析

E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!E(X) = \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} 令 j=k−1j = k-1，则： E(X)=λe−λ∑j=0∞λjj!=λe−λ⋅eλ=λE(X) = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda e^{-\lambda} \cdot e^\lambda = \lambda

4. 分布间的关系​

                    泊松分布 P(λ)
                          ↑
         二项分布 B(n,p) ←——→ 超几何分布 H(N,M,n)
              ↓                   (不放回)
    n=1 时为两点分布 B(1,p)
              ↓
         几何分布 G(p)
              ↓
         负二项分布 NB(r,p)

重要极限关系：当 n→∞n \to \infty，p→0p \to 0 且 np=λnp = \lambda 时，二项分布收敛于泊松分布： (nk)pk(1−p)n−k→λke−λk!\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \xrightarrow{} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

5. 计算验证：C++ 蒙特卡洛模拟​

以下代码通过随机模拟验证泊松分布的期望和方差。

点击查看 C++ 验证代码
#include <iostream>
#include <random>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iomanip>

using namespace std;

// 生成泊松分布随机数 (使用 std::poisson_distribution)
void test_poisson(double lambda, int trials) {
    random_device rd;
    mt19937 gen(rd());
    poisson_distribution<> d(lambda);

    vector<long long> counts(20, 0);
    double sum = 0, sum_sq = 0;

    for (int i = 0; i < trials; ++i) {
        int x = d(gen);
        if (x < 20) counts[x]++;
        sum += x;
        sum_sq += x * x;
    }

    double mean = sum / trials;
    double variance = sum_sq / trials - mean * mean;

    cout << fixed << setprecision(4);
    cout << "λ = " << lambda << ", 试验次数 = " << trials << endl;
    cout << "样本均值: " << mean << " (理论值: " << lambda << ")" << endl;
    cout << "样本方差: " << variance << " (理论值: " << lambda << ")" << endl;
    cout << "\n频率分布 vs 理论概率:" << endl;
    for (int k = 0; k < 10; ++k) {
        double freq = (double)counts[k] / trials;
        double theory = exp(-lambda) * pow(lambda, k) / tgamma(k + 1);
        cout << "P(X=" << k << "): 模拟=" << freq << " 理论=" << theory << endl;
    }
}

int main() {
    test_poisson(3.0, 100000);
    return 0;
}

本章节由 SolKnow 系统根据标准教材重写。